本校の数学クラブのメンバーが、６番の解き方についてパワーポイントを使い、1年生全員の前で発表しました。以下に、その発表原稿とパワーポイント画像添付という形で掲載します。
発表原稿
数学クラブです。今回、２０１１年度日本数学オリンピック予選に、１年
生１０人２年生６人が参加しました。出題数は全部で１２問。私たちはこの予選を１月９日の成人の日に洛北高校で受けてきました。予選の合格ラインは８問で
した。最高で７問解いた人がいましたが、残念ながら本選に進むことはできませんでした。今日は、その問題の中から第６問を解説していきたいと思います。
〔１〕
では問題です。手元の資料を見てください。簡単に説明すると、
２×１００のマス目を赤と青の２色で塗り分けるとき、それが何通りあるかを求めるという問題です。ただし、色の塗り方には２つ条件があって、まず１つ目
は、すべて赤やすべて青はだめだということです。そして２つ目は…〔２〕
この上から３つ目の図のように、同じ色で塗ったマスが辺を共有していな
いので条件を満たしていません。この図の場合、青が辺を共有していません。これと同様に、この一番下の図は、角を共有していますが辺を共有していないので
条件を満たしません。このように考えると、この上の２つの図が条件に当てはまる正しい図ということになります。〔３〕
ではまず、赤のマスの数を変えて考えていくことにします。２×１００の
２００のマス目に、赤を１マス、青を１９９マス塗ったときを考えました。その場合、この上の図のように表すことが出来ます。この１マスの赤が塗れる箇所
は、条件を考えるまでもなく全てのマスに塗りつぶすことが出来るので全部で２００通りあります。また、この下の図というのは同じ要領で青を１マス、赤を
１９９マス塗ったときです。こちらも、さっきと同じように２００通り塗ることが出来ます。ここでまとめると、ある１色を１マス、他の１色を１９９マス塗る
際には、塗り方が２００通り、そして色の反転が赤と青の２通りありますので、このように ２００×２通りあります。〔４〕
次に、赤を２マス、青を１９８マス塗ったときを考えました。ここからは、２通りに場合分けして考えることにします。まず１通り目は、上の段に赤を横に２マス塗った場合とその場合における色の反転。また、下の段に赤を横に２マス塗った場合とその色の反転とがあります。〔５〕
そして２通り目は、左端から赤を縦に塗った場合とその色の反転。また、右端から赤を縦に塗った場合とその色の反転とがあります。〔６〕
つまり、ある１色を２マス、他の１色を１９８マス塗る場合には、ある１
色を横に塗れる箇所が９９通り。そして、横に塗るときの段が上下で変わる２通りと色の反転２通りとがあるので、９９×２×２通り。また、ある１色を縦に塗
るとなれば、縦に塗るときの端が左右の２通りあるので、１×２×２通りあるのです。縦に塗る際に端から塗るのには、理由があります。赤のマスだけで出来た
１つの図形と、青のマスだけで出来た１つの図形とが、２００のマスの中に１つずつないと、問題文の条件にあてはまらないからです。〔７〕
ちなみに、ここに示している方法で計算すると便利なので、参考にして下さい。〔８〕
次に、赤を３マス，青を１９７マスの時は、一段に赤を塗る場合９８通り、上と下2段あるので2通り、赤と青2色あるので、式は９８×２×２となります。左端に固定した場合赤１マスの塗り方は２通りとなり、赤と青2色、右端の場合があるので式は２×２×２となります。よって合計は（９８＋２）×２×２となります。〔９〕
次に赤が４マス，青が１９６マスの時も同様なので、赤を一段に横に塗る場合は９７通り、つまり式は９７×２×２となります。縦の場合も３通りあるので、式も３×２×２となり合計は同様に（９７+３）×２×２となります。〔１０〕
ここまでは、１マス・２マス・３マス・４マスとやってきましたが、ここ
で少し飛ばして、たとえば赤が７マスの場合を考えます。赤が７マス青が１９３マスのときに、今までと同じように、横で考える場合と縦で考える場合の２つの
場合で考えます。まず横の場合、上の段の１００マスに赤の７マスが並ぶのは９４通りあって、それの色の反転と上下の反転があるので、このような式になりま
す。次に、縦の場合、端の２マスを固定して考えたときに、残った５マスをどこに置くかと考えると、このスライドに示しているように６通りになります。まと
めると、このような式になり、赤が７マスの場合はこのような式になります。〔１１〕
これ以降も、次の８マス、９マスと、縦と横の２通りに分けて考えるとよ
いのですが、最後の１００マスと１００マス、つまり赤が１００マスで青が１００マスのときだけ、少し特別な場合になります。といいますのは、このスライド
のように、色の反転、左右の反転、その色の反転、という風に４通り出来るのですが、この１番上と１番下、２番目と３番目は同じになります。ということは、
これは４通りではなくて実は２通りなのです。〔１２〕
ということで、１００マスのときの式は１００×２ということが分かります。そうしますと、１マスから１００マスまで全部式が出てきたので、次の人に今までの場合分けをおさらいしてもらいます。〔１３〕
では、ここまでの場合分けを１枚のスライドにまとめるとこうなります。
皆さん、もうお気付きですね。こうやって縦に並べると一目瞭然だと思います。１マスと１９９マスの場合は２００×２の４００通り、２マスと１９８マスの時
は（９９＋１）×２×２つまり１００×４の４００通り、３マスと１９７マスの時も（９８＋２）×２×２の４００通り、つまり１マスから９９マスまで塗る場
合は全て４００通りずつとなっています。ただ、１００マスと１００マスの時だけ、先程の説明のように色の反転と左右上下の逆が同じものになるので、
（１＋９９）×２つまり１００×２となり２００通りになることに注意が必要です。ちなみに、これまでの場合分けの際に、すでにそれぞれの場合について色の
反転と左右上下の逆を考えているので、ここでは１０１マス以降の場合について、考える必要がありません。この問題ではこれら全ての合計を求めよ、というこ
とだったので、答えは４００×９９＋２００よって３９８００通りということになります。〔１４〕
皆さん、いかがでしたか？今日の私たちの発表を聞いて、少しでも数学オ
リンピックに興味を持っていただければ幸いです。また、ここに示したものは、この問題の解法のうちのたった一つです。他にもたくさんの解き方があります。
実際、私たちの間でも幾つかの解き方が提案されました。気になる人は家に帰ってからでも探してみてください。きっと見付かると思います。では、ご静聴あり
がとうございました。〔１５〕
パワーポイント
〔１〕 〔２〕 〔３〕
〔４〕 〔５〕 〔６〕
〔７〕 〔８〕 〔９〕
〔１０〕 〔１１〕 〔１２〕
〔１３〕 〔１４〕 〔１５〕
