本校の数学クラブのメンバーが、９番の解き方についてパワーポイントを使い、1年生全員の前で発表しました。以下に、その発表原稿とパワーポイント画像添付という形で掲載します。

　　　　発表原稿

これから数学クラブの発表を始めます。

今回、２０１１年度の日本数学オリンピック予選には一年生が６人、二年生が８人参加しました。出題数は全部で十二問。予選の合格ラインは簡単な時で７か８題。難しい時では５題が目安です。僕たちはこの予選を1月10日の成人の日に洛北高校で受けてきました。今日は、その問題の中で問９を解説していきたいと思います。

問題文は、赤い玉、青い玉、黄色い玉を合わせて１２個 を横一列に並べるとき、以下の条件を満たす 並べ方は何通りあるか。ただし、並べる玉の色が２種類以下の場合も考えるものとする。条件『どの玉に対しても、その玉と同じ色でその玉に隣接するような玉が存在する。』です。わからない人もいると思います。

図で表すと、上のような場合は赤玉が３個連続、青い玉が２個連続して並んでいるので問題の条件を満たしていますが、下の場合は青玉の間に赤玉が入って、連続していないので条件に合わないとなります。では、問題の解説に入ります。（パワーポイント�@）

考え方の第一歩として、僕たちはこれらの連続する玉を一つのグループとして１２個の玉をいくつかのグループに分け ることができるかで場合わけすることにしました。今出ている図はその例です。玉の個数が１２個なので、最小は単一のグループの場合。最大は１２÷２で６つ のグループとなります。玉を二個のグループに分ける場合は数が少ないので数えることが出来ますが、それでは数が多くなった場合に対処出来ないので数学的に ときたいと思います。（パワーポイント�A）

玉を二個のグループに分けるために、まずグループの数だけ玉を先に抜いておきます。今回は、左から赤、青と並ぶようにとりました。では、その残りの１０個の分け方です。残り１０個を二つのグループに分けるには、数Aでと いたことがあるように、１０個の玉の間に１つの仕切りを入れたらいいので、たとえば、２つ目と３つ目の間に仕切りを入れるとこの様に分けることができま す。（パワーポイント�B）そして、色ごとにはじめに分けておいたそれぞれに連結すると、このようになります。（パワーポイント�C）１０個の玉の分け方は １０−１の９か所の間に１個の仕切りを加えるので９Ｃ１となり、9通りになります。下に出ているのはその９通りです。（パワーポイント�D）

玉が３個の場合でも同じ考え方でできます。今回は左から順番に赤、青、黄の玉を並べるとします。残る玉９個の並べ方は先ほどと同じように８か所の隙間に、今回は３つのグループに分けるので２つの仕切りを入れたいと思います。たとえば、3個ずつに区切るように入れるとこの様になり（パワーポイント�E）、初めに取っておいた玉と連結するとこのような１２個の並び方ができます。（パワーポイント�F）

もうわかった人もいるではないでしょうか。４つのグループに分ける場合は７個の玉の間に３つの仕切りなので７Ｃ３。５つに分ける場合は６個の玉の間に４つの仕切りなので６Ｃ４。６つに分ける場合は５個の玉の間に５つの仕切りなので５Ｃ５となります。（パワーポイント�G）

次に玉の色についてです。例を２−６−４の三つのグループに分けるときとします。はじめはどの色を選んでもいいの で３色の中から１色決めます。次の玉のグループには初めと異なる色を入れるとよいので、次のグループに入る色は初めの色を除いた２色。その次に入るのも同 じく２つ目のグループの色を除いた２色となります。よって３×２×２となって色の組み合わせは１２通りとなります。これも、既にわかった人がいると思いま す。

玉の色の組み合わせは、最初は３通りでそれに２通り を玉のグループ毎に１回かけると求めることができます。（パワーポイント�I）それでは、先ほど出した場合わけで求めた玉のグループの分け方と今出した玉の 色の組み合わせをかけていきたいと思います。式は今出ているようになって、それぞれの答えはこちらになります。（パワーポイント�J）答えはこれを合計した らいいので、２０４９通りとなります。（パワーポイント�K）

この様に、数学オリンピックは高校１年の知識でも解くことができる問題も出題されているので、是非来年は参加したらどうでしょうか。

　　　　パワーポイント

　�@　　　　　　　　　　　　　　�A　　　　　　　　　　　　　　�B

　�C　　　　　　　　　　　　　　�D　　　　　　　　　　　　　　�E

　�F　　　　　　　　　　　　　　�G　　　　　　　　　　　　　　�H

　�I　　　　　　　　　　　　　　�J　　　　　　　　　　　　　　�K