２００７年数学オリンピック国内予選問題４　２００７年１月１５日　１年１組　吉浦　慎二

問題

は十の位がでない桁の正の整数であり、の上桁と下桁をそれぞれ桁の整数と考えたとき、この数の積はの約数となる。そのようなをすべて求めよ。

解答

の上２桁の整数をa，下２桁の整数をbとすると、

である。

２数の積abがnの約数であるので、

となる。（mは自然数）

両辺をaで割って、

……�@

a,bはともに２桁の整数であるので、

であり、mbは整数。よっては1〜９の整数である。

ｂは２桁であるので、�@より、ｍは２以上の整数である。よって、mbは素数ではないため、は素数ではない。

したがって、となり、、つまりのいずれかである。

(i) のとき、mb=102なので、

　(m,b)=(2,51),(3,34),(6,17)である。

　から、bは偶数。よって、(m,b)=(2,51),(6,17)は不適

　(m,b)=(3,34)とすると、

　(a,b)=(17,34)のとき17×34=578は1734の約数であるので、条件を満たす。

(ii) のとき、mb=104なので、

　(m,b)=(2,52),(4,26),(8,13)

から、bは４の倍数。よって、(m,b)=(4,26),(8,13)は不適

 (m,b)=(2,52)とすると、

 (a,b)=(13,52)のとき　13×52=676は1352の約数であるので、条件を満たす。

(iii) のとき、mb=105なので、

　(m,b)=(3,35),(5,21),(7,15)

から、bは５の倍数。よって、(m,b)=(5,21)は不適

　m=3のとき、(a,b)=(7,35)　aは２桁の整数なので、不適。

　m=7のとき、(a,b)=(3,15)　aは２桁の整数なので、不適。

(iv) のとき、mb=106なので、

　(m,b)=(2,53)

から、bは６の倍数。よって、(m,b)=(2,53)は不適。

(v) のとき、mb=108なので、

　(m,b)=(2,54),(3,36),(4,27),(6,18),(9,12)

から、bは８の倍数。よって、すべて不適。

以上より、

(a,b)=(13,52)のとき　n=1352,

(a,b)=(17,34)のとき　n=1734

である。