2006年数学オリンピック国内予選問題9 2006年6月12日 2年4組 森田 好美
問題
,,である三角形の内部に点をとる。三角形の外接円,三角形の外接円,三角形の外接円の半径がすべて等しいとき、その等しい半径を求めよ。
解答
の外接円の中心を,の外接円の中心を,の外接円の中心をとし、
,,
,,
,
とおくと、
円,円,円は半径が等しいので、
扇形と扇形と扇形を合わせると円ができる。
したがって、の外接円の半径を求めればよい。
余弦定理より,
相互関係から,
正弦定理より,