2006年数学オリンピック国内予選問題9   2006年6月12日   2年4組 森田 好美

問題

である三角形の内部に点をとる。三角形の外接円,三角形の外接円,三角形の外接円の半径がすべて等しいとき、その等しい半径を求めよ。

 

解答

 の外接円の中心をの外接円の中心をの外接円の中心をとし、

 

 とおくと、

 

 円,円,円は半径が等しいので、

扇形と扇形と扇形を合わせると円ができる。

 したがって、の外接円の半径を求めればよい。

 余弦定理より, 

相互関係から, 

正弦定理より,