2006年数学オリンピック国内予選問題９　　２００６年１２月４日

1年1組２３番　津山　竣太郎　　１年１組３１番　福本　彰太郎　　１年１組３８番　吉浦　慎二

問題

，，である三角形の内部に点をとる。三角形の外接円，三角形の外接円，三角形の外接円の半径がすべて等しいとき、その等しい半径を求めよ。

解答１

　，，，

　四角形と四角形はひし形より、

　かつ

　よって四角形は平行四辺形である。

　

　同様に、，

　ヘロンの公式から　…�@

　次に、の外接円の半径をとおくと，

　正弦定理より　

　これより、

�@      �Aより、

　はまわりの外接円の半径でもあるので、求める値は