2005年 日本数学オリンピック国内予選 問題3

       2005年6月7日 1年2組34番 森田 好美

教員は、この問題を三角関数の加法定理を使って解くものと考えていて、1年生には無理だと言っていました。解けたといわれて驚きました。

問題

なる直角三角形の辺の中点を点とするときを最大にするようなの値を求めよ。

解答




ここが最大になるようにする


     Pは移動する

 

 

 

 

 

 





P
はこの線上のどこかにある


ぴったり接している


の円周角なので最大になるのは1点で接しているときである。
円の中心をMとおく。
MからABのおろした垂線とABの交点をQとする。
AMBは二等辺三角形なので 
よって


MPMBは共に円の半径なので、